Red recíproca

Paralelamente a la definición de red cristalina (denominada también red directa) puede definirse para cada cristal otro tipo de red que recibe el nombre de red recíproca.



La red recíproca no es mas que la red que se construye sobre el espacio vectorial dual del espacio vectorial asociado a la red directa. En la notación empleada en esta monografía, en la definición de dicha red recíproca se incluye un factor 2p. Según esto, si los vectores característicos de la red directa son , los de la red recíproca, , satisfacen la relación:



Y esto equivale a definir:



La red recíproca tiene importantes propiedades, entre las que cabe citar la de que sus puntos están íntimamente relacionados con la difracción de rayos X producida por la red cristalina.
Si los vectores de traslación de la red cristalina son ortogonales también lo serán los de la red recíproca.
La celda unidad de la red recíproca es el paralelepípedo formado por los vectores y su volumen viene dado por (2p)3/Vc siendo Vc el volumen de la celda unidad de la red cristalina.

Zonas de Brillouin

Las zonas de Brillouin son regiones de la red recíproca que tienen las siguientes propiedades:
- Cada zona de Brillouin tiene un volumen igual al volumen de la celda unidad de la red recíproca.

- Cada zona de Brillouin puede reducirse a cierta zona, llamada primera zona de Brillouin, por traslación de sus posiciones mediante vectores de la red recíproca hacia la primera zona.

- La primera zona de Brillouin, que coincide con la celda unidad de Wigner – Seitz de la red recíproca, llena todo el espacio bajo la acción de traslaciones definidas por la ecuación:



Donde h1, h2 y h3 son números enteros.

Las zonas de Brillouin se construyen mediante planos bisectrices perpendiculares a todos los vectores de la red recíproca. La primera zona es el volumen más pequeño alrededor de un origen arbitrario limitado por dichos planos. La segunda zona es el volumen entre la primera zona y el nuevo conjunto de planos y así sucesivamente.
La primera zona de Brillouin de una red cristalina cúbica centrada en caras es un octaedro truncado de volumen 4(2p/a3).
Si los vectores fundamentales de la red cristalina cúbica centrada en las caras son:



Los vectores fundamentales de la red recíproca, dados por (3) son:



Kevin M Contreras H
Electrónica del Estado Sólido
http://www.matematicasypoesia.com.es/monografias/solidos.htm